Analiza funkcjonalna
Z Wikipedii
Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi.
Słowo funkcjonał pochodzi z rachunku wariacyjnego, gdzie oznacza funkcję, której argument jest funkcją (ale wartość jest liczbą). Prawdopodobnie, od słowa "funkcjonał" pochodzi nazwa "analiza funkcjonalna", chociaż w niej bada się także bardziej ogólne operatory, których zarówno argumenty jak i wartości są wektorami (to znaczy wartość może nie być liczbą). Uogólnieniem analizy funkcjonalnej jest teoria operatorów gdzie argumentami operatora mogą być dowolne obiekty matematyczne (to znaczy nie koniecznie wektory).
Upowszechnienie analizy funkcjonalnej zawdzięcza się matematykowi i fizykowi Vito Volterze, a stworzenie jej podstaw przypisuje się Stefanowi Banachowi, aczkolwiek część wyników uzyskał niezależnie na początku drugiej połowy XIX wieku węgierski matematyk József Szoboszló, jego prace zaginęły jednak podczas rewizji żandarmerii cesarskiej i odkryto je dopiero w latach 90. XX wieku.[potrzebne źródło]
[edytuj] Przestrzenie badane w analizie funkcjonalnej
W ogólności analiza funkcjonalna zajmuje się również badaniem przestrzeni Frécheta i innych przestrzeni liniowo-topologicznych. Podstawowymi przestrzeniami badanymi w analizie funkcjonalnej są jednak unormowane zupełne przestrzenie liniowe nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Takie przestrzenie noszą nazwę przestrzeni Banacha.
Przykładami przestrzeni Banacha są przestrzenie Hilberta, w których norma pochodzi od iloczynu skalarnego. Przestrzenie Hilberta mają podstawowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej.
Ważnym obiektem badań analizy funkcjonalnej są ciągłe przekształcenia (funkcjonały) liniowe na przestrzeniach Banacha i Hilberta. Badania własności przestrzeni takich funkcjonałów doprowadziły do sformułowania pojęć C*-algebr i innych algebr operatorów.
Przestrzenie badane w analizie funkcjonalnej są w szczególności przestrzeniami liniowymi, więc w pewnym sensie przedmiot badań analizy funkcjonalnej jest zbliżony do przedmiotu badań algebry liniowej. Niemniej jednak badania w tych dwóch dziedzinach mają całkiem różny charakter, głównie dlatego, że algebra liniowa jest zainteresowana własnościami algebraicznymi badanych przestrzeni i często ogranicza się do przestrzeni skończeniewymiarowych. W analizie funkcjonalnej struktura algebraiczna (choć ważna) ma drugorzędne znaczenie a centralnymi obiektami są topologie, normy i iloczyny skalarne. Stąd też większość rozważanych przestrzeni jest nieskończeniewymiarowa a stosowane metody mają często topologiczny czy nawet teoriomnogościowy charakter.
[edytuj] Najważniejsze wyniki
Poniżej są wymienione główne i podstawowe wyniki z dziedziny analizy funkcjonalnej.
- Twierdzenie Banacha-Steinhausa (znane również jako zasada jednostajnej ograniczoności) dotyczy ograniczonych zbiorów operatorów.
- Twierdzenie spektralne podaje reprezentację operatorów samosprzężonych na przestrzeni Hilberta poprzez całki względem specjalnych miar spektralnych. Ma ono centralne znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej.
- Twierdzenie Hahna-Banacha mówi o rozszerzaniu funkcjonałów z podprzestrzeni na całą przestrzeń, z zachowaniem normy. Jednym z wniosków jest nietrywialność przestrzeni dualnych.
- Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym oraz twierdzenie o wykresie domkniętym.
[edytuj] Zobacz też
| Rosyjska prasa: Bracia-Słowianie powinni uważać |
|
Polska gotowa jest wpuścić rosyjskich ekspertów wojskowych na swoje terytorium - wybija w piątek rządowa "Rossijskaja Gazieta", komentując wizytę szefa polskiego MSZ Radosława Sikorskiego w Waszyngtonie.
|
| Kownacki w szpitalu |
|
Jak donosi "Wprost", "Piotr Kownacki, szef kancelarii prezydenta, został przewieziony wczoraj wieczorem do szpitala przy ulicy Wołoskiej".
|
| Apteka wyłudziła blisko 740 tys zł |
|
Prokuratura Rejonowa Olsztyn-Południe bada czy jedna z olsztyńskich aptek wyłudziła z NFZ blisko 740 tys. zł - poinformował prokurator rejonowy Arkadiusz Szwedowski.
|
| Samobójczy skok |
|
W piątek około godziny 10.50 z dziewiątego piętra wieżowca przy al. Wojska Polskiego w Pile skoczyła około 40-letnia kobieta. Pomimo reanimacji kobiety nie udało się uratować.
|
| Konto Powiernictwa Polskiego mogą zająć Niemcy |
|
Konto Powiernictwa Polskiego, któremu szefuje senator PiS Dorota Arciszewska-Mielewczyk, może w każdej chwili zostać zajęte przez niemieckiego komornika - ustalił serwis internetowy tvp.info. Powód? Stowarzyszenie nie chce uregulować honorarium prawników Eriki Steinbach, szefowej niemieckiego Związku Wypędzonych. A taki obowiązek na Powiernictwo nałożył sąd w Kolonii.
|