Gradient (matematyka)

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy gradientu w matematyce i naukach przyrodniczych. Zobacz też: inne znaczenia słowa gradient.

Spis treści

1 Intuicje
- 1.1 Przykład
2 Definicja
3 Gradient funkcji określonej na otwartym podzbiorze
4 Przykład
5 Własności
6 Zastosowania
7 Zobacz też
8 Bibliografia
9 Przypisy

Gradient – w analizie matematycznej, operator różniczkowy, który polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe. Owo pole wektorowe ma kierunek i zwrot wektora największego wzrostu funkcji w danym punkcie, a wartość jest proporcjonalna do szybkości wzrostu (wzrost na jednostkę długości) funkcji. Wektor przeciwny gradientowi nazywany jest antygradientem.

Gradient oznaczany jest przez $grad$ lub symbolem nabla $\nabla$ , który jest odwróconą grecką literą delta.

[edytuj] Intuicje

Intuicyjnie, gradient jest wektorem, którego zwrot wskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartości funkcji, natomiast długość odpowiada wzrostowi tej funkcji na jednostkę długości.

Definicja gradientu jako operatora tworzącego pole wektorowe jest pojęciem analizy matematycznej. Jednak często przez gradient rozumie się zmianę wielkości fizycznej spowodowanej zmianą odległości bez specjalnego wyróżniania kierunku. W tym sensie gradient jest używany jako płynna zmiana lub obszar zmiany i oznacza:

istnienie płynnej zmiany wielkości fizycznej (stężenia, pH, temperatury, gęstości ładunku elektrycznego) w określonej przestrzeni (powierzchni/objętości), jasności, koloru w grafice,
kierunek wektora gradientu (kierunek największej zmiany),
obszar, w którym występuje płynna zmiana.

[edytuj] Przykład

Wektory wskazują gradient zaciemnienia.

Rozpatrzmy funkcję „stopień zaciemnienia” określającą jasność punktu w zadanym obszarze (każdemu punktowi przyporządkowano liczbę więc funkcja jest skalarna). Operator gradient przypisuje każdemu punktowi tego obszaru wektor wskazujący kierunek najszybszego wzrostu zaciemnienia obszaru. Wektory przedstawione na grafikach są ilustracją tego pola wektorowego.

[edytuj] Definicja

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami Banacha, $U\subset X$ będzie zbiorem otwartym oraz $f\colon U \to Y$ będzie różniczkowalna na $U$ . Odwzorowanie

$U\ni x \mapsto f^\prime(x) \in X^\star$ ^[1]

nazywamy gradientem funkcji $f$ .

Jeżeli $X=\mathbb{R}^n$ , to istnieje izomorfizm $\Phi\colon \mathbb{R}^n \to (\mathbb{R}^n)^\star$ .^[2] Możemy wówczas pochodnej funkcji przyporządkować pole wektorowe

$U\ni x \mapsto (\Phi\circ f^\prime)(x)\in \mathbb{R}^n$ .

Pole to nazywamy gradientem funkcji $f$ i oznaczamy $grad f$ lub $\nabla f$ .

[edytuj] Gradient funkcji określonej na otwartym podzbiorze $\mathbb{R}^3$

Niech $f\colon \mathbb{R}^3\supset U\to \mathbb{R}$ będzie różniczkowalna na zbiorze otwartym $U$ .

W układzie współrzędnych kartezjańskich wektor gradientu jest określony jako:

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right]$

lub inaczej

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \vec j + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \vec k$

gdzie $\vec i,\ \vec j,\ \vec k$ są wersorami osi kartezjańskiego układu współrzędnych.

W układzie współrzędnych cylindrycznych (walcowych):

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi},\frac{\partial f}{\partial z} \right]$

lub inaczej

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \vec i_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi} \cdot \vec i_{\phi} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \vec i_z$

gdzie $\vec i_r,\ \vec i_{\phi},\ \vec i_z$ są wersorami cylindrycznego układu współrzędnych.

W układzie współrzędnych sferycznych:

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta},\frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \right]$

lub inaczej

$\mathrm{grad}\, f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \vec i_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \cdot \vec i_{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \cdot \vec i_{\phi}$

gdzie $\vec i_r,\ \vec i_{\theta},\ \vec i_{\phi}$ są wersorami sferycznego układu współrzędnych.

Łatwo rozszerzyć powyższe własności na funkcje $f\colon \mathbb{R}^n\supset U \to \mathbb{R}$ korzystając ze wzorów na uogólnione współrzędne sferyczne czy walcowe.

[edytuj] Przykład

Gradient funkcji $f (x, y, z) = 2 x + 3 y 2 - sin z$ :

$\nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right] = [2, 6y, -\cos z]$

[edytuj] Własności

Niech $\mathbf{F,G}$ oznaczają pola wektorowe, $φ,ψ$ oznaczają pola skalarne oraz $a,b\in\mathbb{R}$ . Wówczas

Gradient jest liniowy ze względu na liczby rzeczywiste:

$\nabla\left(a\phi+b\psi\right) = a\nabla \phi + b\nabla \psi$ ,

spełnia prawo Leibniza dla funkcji:

$\nabla\left(\phi\psi\right) = \left(\nabla \phi\right) \psi + \phi\nabla \psi\,,$

$\nabla\left(\frac{\phi}{\psi}\right) = \frac{\psi\nabla \phi\ - \phi\nabla \psi}{\psi^2}$ ,

gradient iloczynu skalarnego pól wektorowych:

$\nabla\left(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}\right) = \left(\mathbf{F}\cdot\nabla\right)\mathbf{G} +\left(\mathbf{G}\cdot\nabla\right)\mathbf{F} +\mathbf{F}\times\left(\nabla\times\mathbf{G}\right) +\mathbf{G}\times\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\,,$

gdzie $\nabla \times \mathbf{F}$ jest rotacją pola wektorowego $\mathbf{F}$ .

Własności wektora gradientu pola skalarnego :

kierunek i zwrot wektora gradientu wskazuje kierunek, w którym dana wielkość f pola skalarnego rośnie najszybciej,
długość wektora (wartość/moduł wektora) gradientu określa szybkość wzrostu (przyrost na jednostkę długości) badanej wielkości w kierunku określonym przez gradient,
wartość gradientu jest równa pochodnej kierunkowej dla kierunku największego wzrostu, czyli określa największy wzrost wielkości skalarnej.

[edytuj] Zastosowania

W niektórych szybko przebiegających reakcjach chemicznych zachodzących na granicy faz zachodzi zjawisko gradientowego stężenia substratów w objętości. Stwierdzenie to oznacza, że blisko granicy faz, gdzie przebiega właściwa reakcja stężenie produktów jest najwyższe, zaś czym dalej od tej granicy stężenie to spada. Zjawisko takie zachodzi np. przy elektrolizie

W przypadku polimerów możliwe jest otrzymywanie tzw. kopolimerów gradientowych, w których, na jednym końcu polimeru występuje więcej jednego meru a na przeciwległym drugiego.

W meteorologii, fragment opisu stanu atmosfery "W niezbyt grubej warstwie - 81 m, różnica temperatury wynosiła aż 8,5 stopnia, tj. średnio ponad jeden stopień na 10 m wysokości. Tak duże ujemne, pionowe gradienty temperatury są rzadkością".

W fizyce, gradientem energii potencjalnej jest siła, potencjału (np elektrycznego, grawitacyjnego) jest natężenie tego pola.

W optymalizacji do określenia kierunku poszukiwania ekstremów funkcji wielu zmiennych (metoda gradientu prostego, metoda najszybszego spadku, metoda Newtona, algorytm Levenberga-Marquardta).

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.

[edytuj] Przypisy

↑ Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha nad ciałem $\mathbb{K}$ , to $X^\star=\{\varphi\colon X\to \mathbb{K}\colon \; \varphi$ - liniowe i ciągłe $}$ . Zob. przestrzeń sprzężona.
↑ Na mocy twierdzenia, iż przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego wymiaru. $\dim (\mathbb{R}^n)^\star=\dim \mathbb{R}^n \cdot \dim \mathbb{R}=n\cdot 1=n=\dim \mathbb{R}^n$ .

p • d • e

Operatory różniczkowe

dywergencja • gradient • nabla • dalambercjan • laplasjan • rotacja

Olsztyn: 16-latka śmiertelnie zatruła się czadem

Szesnastoletnia dziewczyna śmiertelnie zatruła się czadem. Dwie osoby, które były z nią w mieszkaniu nie ucierpiały - poinformowała Małgorzata Szmidt-Jeżewska, rzecznik prasowa warmińsko-mazurskiej straży pożarnej.

Izrael ma nadzieję na owocne rozmowy z Egiptem

Izrael wyraził nadzieję, że rozmowy z Egiptem na temat sytuacji w Strefie Gazy stworzą warunki, które pozwolą Izraelowi "zakończyć operację militarną".

Irak wzywa do odwetu za Strefę Gazy

Radykalny duchowny Muktada as-Sadr wezwał iracki ruch oporu do przeprowadzenia "operacji odwetowych" przeciwko siłom amerykańskim w Iraku, aby zaprotestować w ten sposób przeciw izraelskiej ofensywie w Strefie Gazy.

Tragiczny bilans wojny w Strefie Gazy

Co najmniej 702 Palestyńczyków zginęło, a 3100 zostało rannych podczas izraelskiej ofensywy w Strefie Gazy - podał szef służb ratowniczych.

Posłowie za rozszerzeniem uprawnień "speckomisji"

Za umożliwieniem sejmowej "speckomisji" dostępu do dokumentów i materiałów uzyskanych przez służby specjalne opowiedzieli się w środę, podczas debaty w Sejmie nad projektem zmian w regulaminie izby, posłowie ze wszystkich klubów parlamentarnych.

Bielizna | apteka | wózki widłowe | dowcipy | wizualizacje HOME, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,

[0] Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha nad ciałem $\mathbb{K}$ , to $X^\star=\{\varphi\colon X\to \mathbb{K}\colon \; \varphi$ - liniowe i ciągłe $}$ . Zob. przestrzeń sprzężona.

[1] Na mocy twierdzenia, iż przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego wymiaru. $\dim (\mathbb{R}^n)^\star=\dim \mathbb{R}^n \cdot \dim \mathbb{R}=n\cdot 1=n=\dim \mathbb{R}^n$ .

[1]

[2]

Wikipedia - Wolna Encyklopedia

Gradient (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Intuicje

[edytuj] Przykład

[edytuj] Definicja

[edytuj] Gradient funkcji określonej na otwartym podzbiorze

[edytuj] Przykład

[edytuj] Własności

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Przypisy

[edytuj] Gradient funkcji określonej na otwartym podzbiorze $\mathbb{R}^3$