Graf dwudzielny
Z Wikipedii
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.
 |
|
Najważniejsze pojęcia Wybrane klasy grafów Algorytmy grafowe Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe Inne zagadnienia |
| edytuj ten szablon |
Graf dwudzielny – graf, którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory tak, że krawędzie nie łączą wierzchołków tego samego zbioru. Jeśli pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków należących do różnych zbiorów istnieje krawędź, graf taki nazywamy pełnym grafem dwudzielnym lub kliką dwudzielną i oznaczamy Kn,m gdzie n i m oznaczają liczności zbiorów wierzchołków.
Pojęcie można uogólnić na trzy (graf trójdzielny) i więcej zbiorów.
Spis treści |
[edytuj] Definicja formalna
Grafem dwudzielnym nazywamy trójkę G(U, V, E) gdzie:
- U={u1, u2, ..., un},
- V={v1, v2, ..., vm}
i
.
U i V są zbiorami wierzchołków, E to zbiór krawędzi.
[edytuj] Warunki wystarczające dla grafu hamiltonowskiego
Sformułowane zostało twierdzenie, które pozwala określić, czy graf dwudzielny jest grafem hamiltonowskim.
[edytuj] Treść twierdzenia
Niech G będzie grafem dwudzielnym i niech:
będzie podziałem wierzchołków G.
Jeśli G ma cykl Hamiltona, to:
Jeśli G ma ścieżkę Hamiltona, to wartości | V1 | i | V2 | różnią się co najwyżej o 1.
Dla pełnych grafów dwudzielnych zachodzi też implikacja w lewo, tj. jeśli:
to G ma cykl Hamiltona.
Jeśli | V1 | i | V2 | różnią się co najwyżej o 1 to G ma ścieżkę Hamiltona.
[edytuj] Dowód
Niech n oznacza ilość wierzchołków grafu G.
- Cykl Hamiltona możemy wyznaczyć biorąc na przemian wierzchołki leżące w zbiorach V1 i V2. Jeśli:
wyznacza drogę zamkniętą przechodzącą dokładnie raz przez każdy wierzchołek, to
muszą należeć do jednego ze zbiorów podziału, bez straty ogólności załóżmy, że należą one do V1. Ponieważ istnieje krawędź 
, liczba n musi być parzysta, a więc wszystkie wierzchołki 
należą do V2, z czego wynika, że:
.
W przypadku ścieżki Hamiltona można zastosować podobne wyszukiwanie, zakończyć je na wierzchołku vn. W przypadku, gdy n nie jest parzyste, jeden ze zbiorów ma jeden dodatkowy wierzchołek.
Załóżmy G jest pełnym grafem dwudzielnym, tj.:
.
Jeżeli:
to dla każdego "przemiennego" indeksowania wierzchołków 
wyznacza cykl Hamiltona w G. Gdy jeden z podziałów, np. V1 jest mniejszy wystarczy wyjść z niego przez 
.
[edytuj] Zobacz też
- klasa grafów
- teoria grafów
- twierdzenie Bondy'ego-Chvátala
- twierdzenie Diraca (1952)
- twierdzenie o ilości krawędzi
- twierdzenie Ore (1961)
| Olsztyn: 16-latka śmiertelnie zatruła się czadem |
|
Szesnastoletnia dziewczyna śmiertelnie zatruła się czadem. Dwie osoby, które były z nią w mieszkaniu nie ucierpiały - poinformowała Małgorzata Szmidt-Jeżewska, rzecznik prasowa warmińsko-mazurskiej straży pożarnej.
|
| Izrael ma nadzieję na owocne rozmowy z Egiptem |
|
Izrael wyraził nadzieję, że rozmowy z Egiptem na temat sytuacji w Strefie Gazy stworzą warunki, które pozwolą Izraelowi "zakończyć operację militarną".
|
| Irak wzywa do odwetu za Strefę Gazy |
|
Radykalny duchowny Muktada as-Sadr wezwał iracki ruch oporu do przeprowadzenia "operacji odwetowych" przeciwko siłom amerykańskim w Iraku, aby zaprotestować w ten sposób przeciw izraelskiej ofensywie w Strefie Gazy.
|
| Tragiczny bilans wojny w Strefie Gazy |
|
Co najmniej 702 Palestyńczyków zginęło, a 3100 zostało rannych podczas izraelskiej ofensywy w Strefie Gazy - podał szef służb ratowniczych.
|
| Posłowie za rozszerzeniem uprawnień "speckomisji" |
|
Za umożliwieniem sejmowej "speckomisji" dostępu do dokumentów i materiałów uzyskanych przez służby specjalne opowiedzieli się w środę, podczas debaty w Sejmie nad projektem zmian w regulaminie izby, posłowie ze wszystkich klubów parlamentarnych.
|