Granica dolna i górna

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Ilustracja granicy górnej oraz dolnej. Ciąg

x n

zaznaczono kolorem niebieskim. Dwie czerwone krzywe dążą do granicy górnej i dolnej

x n

nakreślonych po prawej linią ciągłą.

Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.

[edytuj] Definicja

Granica dolna i górna ciągu $(a n)$ definiowane są odpowiednio wzorami

$\liminf_{n \to \infty}~{a_n} \overset\underset\mathrm{def}\ = \lim_{n \to \infty}~\left(\inf_{k \geqslant n}~a_k\right) = \sup_{n \geqslant 0}~\inf_{k \geqslant n}~a_k$ ,

$\limsup_{n \to \infty}~{a_n} \overset\underset\mathrm{def}\ = \lim_{n \to \infty}~\left(\sup_{k \geqslant n}~a_k\right) = \inf_{n \geqslant 0}~\sup_{k \geqslant n}~a_k$ .

Jeżeli ciąg posiada granicę dolną oraz górną i są one sobie równe, to posiada także zwykłą granicę równą wspólnej wartości granic dolnej i górnej. Zachodzi także twierdzenie odwrotne: jeżeli ciąg ma granicę, to ma on także granicę dolną oraz górną i są one sobie równe.

Należy mieć na uwadze, że oznaczenia granic dolnej i górnej stanowią jedną całość i nie składają się z oddzielnych oznaczeń $\lim$ oraz $\inf$ , czy $\sup$ , co widać w powyższych napisach, gdzie $\scriptstyle{n \to \infty}$ rozpościera się równo pod całym napisem $\liminf$ lub $\limsup$ , a nie jego pewną częścią. Korzysta się również z symboli $\underline{\lim}$ na oznaczenie granicy dolnej oraz $\overline{\lim}$ na oznaczenie granicy górnej.

[edytuj] Przykłady

Najprostszym przykładem jest

$\limsup_{n \to \infty} \pm n = \liminf_{n \to \infty} \pm n = \pm\infty$ .

Istnieją ciągi, dla których granica dolna jest różna od granicy górnej, są one rozbieżne:

$\limsup_{n \to \infty} (-1)^n (1 - \tfrac{1}{n}) = 1$ , ale

$\liminf_{n \to \infty} (-1)^n (1 - \tfrac{1}{n}) = -1$ .

Podobnie

$\limsup_{n \to \infty}~\sin \tfrac{\pi n}{100} = 1$ , ale

$\liminf_{n \to \infty}~\sin \tfrac{\pi n}{100} = -1$ .

[edytuj] Własności

Dla dowolnych ciągów $(a n),(b n)$ prawdziwe są następujące nierówności:

$\limsup_{n \to \infty}~a_n + \limsup_{n \to \infty}~b_n \geqslant$

$\geqslant \limsup_{n \to \infty}~(a_n + b_n) \geqslant$

$\geqslant \limsup_{n \to \infty}~a_n + \liminf_{n \to \infty}~b_n \geqslant$

$\geqslant \liminf_{n \to \infty}~(a_n + b_n) \geqslant$

$\geqslant \liminf_{n \to \infty}~a_n + \liminf_{n \to \infty}~b_n$ .

[edytuj] Zobacz też

Olsztyn: 16-latka śmiertelnie zatruła się czadem

Szesnastoletnia dziewczyna śmiertelnie zatruła się czadem. Dwie osoby, które były z nią w mieszkaniu nie ucierpiały - poinformowała Małgorzata Szmidt-Jeżewska, rzecznik prasowa warmińsko-mazurskiej straży pożarnej.

Izrael ma nadzieję na owocne rozmowy z Egiptem

Izrael wyraził nadzieję, że rozmowy z Egiptem na temat sytuacji w Strefie Gazy stworzą warunki, które pozwolą Izraelowi "zakończyć operację militarną".

Irak wzywa do odwetu za Strefę Gazy

Radykalny duchowny Muktada as-Sadr wezwał iracki ruch oporu do przeprowadzenia "operacji odwetowych" przeciwko siłom amerykańskim w Iraku, aby zaprotestować w ten sposób przeciw izraelskiej ofensywie w Strefie Gazy.

Tragiczny bilans wojny w Strefie Gazy

Co najmniej 702 Palestyńczyków zginęło, a 3100 zostało rannych podczas izraelskiej ofensywy w Strefie Gazy - podał szef służb ratowniczych.

Posłowie za rozszerzeniem uprawnień "speckomisji"

Za umożliwieniem sejmowej "speckomisji" dostępu do dokumentów i materiałów uzyskanych przez służby specjalne opowiedzieli się w środę, podczas debaty w Sejmie nad projektem zmian w regulaminie izby, posłowie ze wszystkich klubów parlamentarnych.

Grand Theft Auto | poker zasady | wózki widłowe | aparaty cyfrowe | projekty domów HOME, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,

Wikipedia - Wolna Encyklopedia