Grupa ilorazowa

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Grupa ilorazowa – grupa, której elementami są warstwy danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej z naturalnie określonym na nich działaniem. Innymi słowy jest to przestrzeń ilorazowa z działaniem odziedziczonym z grupy wyjściowej, przy czym relacja równoważności ją definiująca jest wyznaczona jednoznacznie przez pewną podgrupę normalną.

Można ją sobie wyobrażać jako grupę pierwotną, w której utożsamiono elementy ustalonej podgrupy normalnej z elementem neutralnym grupy (zob. uwagę dot. ilorazu zbiorów) ze wszystkimi tego konsekwencjami. Można wziąć również iloraz grupy przez grupę, która nie jest normalna, ale jego wynikiem nie będzie grupa, lecz raczej przestrzeń jednorodna.

Spis treści

1 Iloczyn kompleksowy
2 Definicja
3 Motywacja
4 Przykłady
5 Epimorfizm kanoniczny
6 Twierdzenie o homomorfizmie (faktoryzacji)
7 Własności
8 Bibliografia
9 Zobacz też

[edytuj] Iloczyn kompleksowy

Zobacz więcej w osobnym artykule: iloczyn kompleksowy.

W poniższych rozważaniach wykorzystane zostanie dwuargumentowe działanie na zbiorze potęgowym grupy $G$ : Jeżeli $S, T$ są podzbiorami zbioru $G$ , to iloczynem kompleksowym tych zbiorów nazywa się zbiór

$ST = \{st\colon s \in S,\, t \in T\}$ .

Jeżeli np. $S = {s}$ , to przyjmuje się oznaczenie ${s} T = s T$ . Iloczyn kompleksowy podzbiorów grupy jest działaniem łącznym i ma element neutralny – zbiór złożony tylko z elementu neutralnego grupy $G$ . Wynika stąd, że zbiór potęgowy zbioru $G$ z działaniem iloczynu kompleksowego jest monoidem.

Za pomocą tego działania wyjaśnione zostanie czym w istocie jest grupa ilorazowa, a następnie podgrupa normalna:

Grupa ilorazowa grupy $G$ jest podziałem $G$ będącym samym w sobie grupą z powyższym działaniem.

Elementami podziału są warstwy dzielnika normalnego, względem którego wyznaczana jest podgrupa ilorazowa. Są one w pełni wyznaczone przez sam dzielnik, który jest elementem podziału zawierającym element neutralny $e \in G$ .

Podgrupa $H$ grupy $G$ jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość warstw lewostronnych i prawostronnych, tzn. gdy $a H = H a$ dla każdego $a \in G$ . Korzystając z wyżej zdefiniowanego działania dwuargumentowego na podzbiorach $G$ normalność podgrupy można wyrazić następująco:

podgrupa normalna w

G

to podgrupa, która jako element zbioru wszystkich podzbiorów

G

komutuje z każdym innym podzbiorem

G

(ze względu na działanie iloczynu kompleksowego).

Pisze się $H \vartriangleleft G$ , aby wyrazić fakt, że $H$ jest podgrupą normalną (dzielnikiem normalnym) grupy $G$ . Podgrupy, które komutują w tym sensie z dowolną podgrupą $G$ nazywane są podgrupami permutowalnymi (lub też quasi-normalnymi).

[edytuj] Definicja

Niech $G$ będzie grupą oraz $H$ będzie jej podgrupą normalną. Ponadto, niech $G / H$ oznacza zbiór warstw lewostronnych grupy $G$ względem $H$ , czyli $G/H = \{aH : a \in G\}$ . Działaniem grupowym określonym na $G / H$ jest iloczyn podzbiorów zdefiniowany wyżej. Innymi słowy, dla każdego $aH, bH \in G/H$ iloczynem $a H$ oraz $b H$ jest $(a H)(b H)$ . Działanie to jest zamknięte w tym zbiorze, ponieważ $(a H)(b H)$ jest w rzeczywistości warstwą lewostronną:

(a H)(b H) = a (H b) H = a (b H) H = (a b) H H = (a b) H

.

W powyższych równościach korzysta się z normalności $H$ . Ponieważ $H$ jest normalna, to warstwy lewostronne oraz prawostronne są sobie równe, dlatego $G / H$ może być zdefiniowana jako zbiór warstw prawostronnych $H$ w $G$ . Ponieważ działanie to określone jest za pomocą iloczynu podzbiorów $G$ , to działanie grupowe jest dobrze określone (tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów), łączne i ma element neutralny $H$ . Elementem odwrotnym elementu $aH \in G/H$ jest $a - 1 H$ . Taką konstrukcję nazywa się grupą ilorazową grupy $G$ przez (względem) $H$ .

Grupy ilorazowe definiuje się często bez odwoływania się do iloczynu podzbiorów: grupą ilorazową $G / H$ nazywa się wtedy po prostu zbiór warstw $G / H$ z działaniem określonym wzorem

(a H)(b H) = (a b) H

dla wszystkich $a, b\in G$ .

Wówczas założenie normalności podgrupy $H$ służy wykazaniu, że zdefiniowane wyżej działanie na warstwach jest poprawnie określone (wynik działania nie zależy od wyboru reprezentantów warstw), czyli jeśli $a H = a' H$ oraz $b H = b' H$ , to również $(a b) H = (a' b') H$ . Dodatkowo wynika już stąd, że dla każdego $a \in G$ zachodzi $(a H) - 1 = a - 1 H$ oraz $e H = H$ jest elementem neutralnym grupy ilorazowej.

Uwaga: Grupa ilorazowa złożona z warstw prawostronnych postaci $H a$ , gdzie $a \in G$ , bywa oznaczana symbolem $G \backslash H$ . Tak oznaczoną grupę ilorazową należy wyraźnie odróżnić od różnicy zbiorów $G \setminus H$ . Ponieważ w grupie ilorazowej odpowiednie warstwy lewostronne pokrywają się z prawostronnymi, to w praktyce korzysta się zwykle wyłącznie z pierwszego symbolu pozostawiając drugi do oznaczania wspomnianej różnicy.

[edytuj] Motywacja

Powód, dla którego $G / H$ nazywa się grupą ilorazową, ma swoje źródło w dzieleniu liczb całkowitych. Podczas dzielenia 12 przez 3 otrzymuje się odpowiedź 4, ponieważ można pogrupować 12 obiektów w 4 podzbiory po 3 obiekty. Konstrukcja grupy ilorazowej naśladuje ten sam pomysł, jednak ostateczną odpowiedzią jest grupa, a nie liczba, ponieważ grupy mają bardziej złożoną strukturę niż losowy zbiór obiektów.

Dokładniej, dla grupy $G / H$ , gdzie $H$ jest podgrupą normalną w $G$ , naturalne „grupowanie” pochodzi od struktury grupowej: są nimi warstwy $H$ w $G$ . Ponieważ wzięto grupę i jej podgrupę normalną, ostateczny iloraz zawiera więcej informacji niż tylko liczbę warstw (o której mówi zwykłe dzielenie) – mianowicie ma on sam strukturę grupy.

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Podzielność przez trzy

Zobacz więcej w osobnym artykule: arytmetyka modularna.

Niech $G = \mathbb Z$ oznacza addytywną grupę liczb całkowitych (tzn. z działaniem dodawania), a $H = 3 \mathbb Z$ jej podgrupę liczb podzielnych przez 3, która jest normalna z powodu przemienności grupy $G$ (zob. uwagę). Wtedy warstwami są zbiory

$0 + 3 \mathbb Z = \{0 + x : x \in 3 \mathbb Z\} = \{\dots, -6, -3,\ 0,\ 3,\ 6, \dots\}$

$1 + 3 \mathbb Z = \{1 + x : x \in 3 \mathbb Z\} = \{\dots, -5, -2,\ 1,\ 4,\ 7, \dots\}$

$2 + 3 \mathbb Z = \{2 + x : x \in 3 \mathbb Z\} = \{\dots, -4, -1,\ 2,\ 5,\ 8, \dots\}$

Zamiast $0 + 3 \mathbb Z$ można pisać $3 \mathbb Z$ , jednak nie czynimy tego ze względu na jasność wywodu. Pozostałe warstwy $x + 3 Z$ dla dowolnego $x \in \mathbb Z$ są równe jednej z powyższych (ponieważ podział na warstwy stanowi podział zbioru). Zatem zbiór warstw $G / H$ to

$\{0 + 3 \mathbb Z, 1 + 3 \mathbb Z, 2 + 3 \mathbb Z\}$ .

Na tym zbiorze określamy działanie $\boxplus$ tak, że dla $a,\; b \in \mathbb Z$ mamy

$(a + 3 \mathbb Z) \boxplus (b + 3 \mathbb Z) = (a + b) + 3 \mathbb Z$ .

Można bezpośrednio sprawdzić, że powyższy wzór poprawnie definiuje działanie $\boxplus$ oraz że zbiór warstw z tym działaniem jest grupą zawierającą trzy elementy, a zatem izomorficzną z $\mathbb Z_3$ .

[edytuj] Moduł niezerowej liczby rzeczywistej

Zobacz więcej w osobnym artykule: wartość bezwzględna.

Niech $\Bbb R^*$ oznacza grupę niezerowych liczb rzeczywistych z działaniem zwykłego mnożenia. Zbiór ${1, - 1}$ jest jej podgrupą normalną (również z powodu przemienności grupy). Warstwami względem tej podgrupy są pary liczb przeciwnych

r { - 1,1} = {r, - r}

określone dla wszystkich $r\in \Bbb R^*$ .

Mnożenie w grupie ilorazowej wygląda wówczas następująco:

$r\{-1,1\}\cdot s\{-1,1\}=(rs)\{-1,1\}=\{-rs, rs\}$

dla $r,s\in \mathbb{R}^*$ . Stosując poniższe twierdzenie o izomorfizmie można wykazać, że grupa ilorazowa $\mathbb{R}^*/\{-1,1\}$ jest izomorficzna z grupą liczb rzeczywistych dodatnich z działaniem mnożenia. Epimorfizm kanoniczny $r\mapsto r\{-1,1\}$ można interpretować jako wartość bezwzględną w zbiorze $\mathbb{R}^*$ .

[edytuj] Znak liczby rzeczywistej różnej od zera

Zobacz więcej w osobnym artykule: signum.

Podgrupa liczb dodatnich $\Bbb R^+$ wyżej danej grupy multiplikatywnej liczb rzeczywistych $\Bbb R^*$ jest normalna, ponieważ wyznacza tylko dwie warstwy: liczb dodatnich $\Bbb R^+$ oraz ujemnych $\Bbb R^-$ (zob. dowód). Działanie $\odot$ na warstwach określone zgodnie z opisanym wcześniej schematem spełnia

$\Bbb R^+\odot\Bbb R^-=\Bbb R^-\odot\Bbb R^+=\Bbb R^-$ oraz $\Bbb R^+\odot\Bbb R^+=\Bbb R^-\odot\Bbb R^-=\Bbb R^+$ .

Grupa ilorazowa $({\mathbb R}^*/{\mathbb R}^+,\odot)$ jest izomorficzna z grupą liczb ${1, - 1}$ z mnożeniem, a tytuł przykładu sugeruje, że homomorfizm $\Bbb R \to \Bbb R/\Bbb R^+: r \mapsto r \Bbb R^+$ jest tożsamy z funkcją signum określoną dla niezerowych liczb rzeczywistych.

[edytuj] Epimorfizm kanoniczny

Jeśli $H$ jest pogrupą normalną grupy $G$ , to odwzorowanie ilorazowe $\pi\colon G \to G/H$ dane wzorem

π(g) = g H

jest poprawnie określonym epimorfizmem grup, którego jądrem jest $H$ . Epimorfizm ten nazywany jest epimorfizmem kanonicznym bądź naturalnym grupy $G$ na grupę ilorazową $G / H$ .

[edytuj] Twierdzenie o homomorfizmie (faktoryzacji)

Niech $G, H$ będą grupami, $N$ będzie podgrupą normalną grupy $G$ oraz $\pi\colon G\to G/N$ będzie epimorfizmem kanonicznym. Jeżeli odwzorowanie $\varphi\colon G\to H$ jest homomorfizmem, to istnieje dokładnie jeden monomorfizm $\tilde \varphi\colon G/N \to H$ taki, że

$\tilde \varphi \circ \pi = \varphi$ ,

to znaczy

$\tilde \varphi(gN) = \varphi(g)$

dla dowolnego $g \in G$ . Ponadto, jeżeli $\varphi$ jest epimorfizmem, to przekształcenie $\tilde \varphi$ jest izomorfizmem.

Ponieważ jądro każdego homomorfizmu grup jest podgrupą normalną, więc bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia o homomorfizmie jest twierdzenie, zwane często twierdzeniem o izomorfizmie, mówiące, że jeżeli $\varphi\colon G\to H$ jest homomorfizmem grup, to

$\operatorname{im}\;\varphi\simeq G/\ker \varphi$ .

Analogicznie twierdzenia formułuje się dla homomorfizmów pierścieni (przy czym podgrupy normalne zastępuje się ideałami).

[edytuj] Własności

Grupa ilorazowa $G / G$ jest izomorficzna z podgrupą trywialną (tzn. jednoelementową), a $G / {e}$ jest izomorficzna z $G$ .
Abelowość (przemienność), nilpotentność, rozwiązalność, cykliczność oraz bycie grupą skończenie generowaną są własnościami dziedzicznymi dla grup ilorazowch.
Każda grupa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy wolnej.
Rząd $G / H$ jest z definicji równy $| G : H |$ , indeksowi $H$ w $G$ . Jeżeli $G$ jest skończona, to indeks jest równy rzędowi $G$ dzielonemu przez rząd $H$ . Należy jednak pamiętać, że choć $G / N$ może być skończonego rzędu, to oba rzędy $G$ i $H$ mogą być nieskończone, np. $\mathbb Z/2\mathbb Z$ .
Zachodzi wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między podgrupami $G$ zawierającymi $N$ oraz podgrupami $G / N$ ; jeżeli $H$ jest podgrupą w $G$ zawierającą $N$ , to odpowiadającą jej podgrupą $G / N$ jest obraz epimorfizmu kanonicznego $π(H)$ . Odpowiedniość ta zachowana jest również dla podgrup normalnyh w $G$ oraz $G / N$ .
Jeżeli $H$ zawiera się w centrum $G$ , to $G$ nazywa się rozszerzeniem centralnym grupy ilorazowej.
Jeżeli $H$ jest podgrupą w skończonej grupie $G$ , a rząd $H$ to połowa rzędu $G$ , to $H$ jest zawsze podgrupą normalną, dlatego istnieje $G / H$ i jest ona izomorficzna z $\mathbb C_2$ . Wynik ten może być wyrażony jako „dowolna podgrupa o indeksie 2 jest normalna” i w tej postaci obowiązuje również dla grup nieskończonych (zob. dowód).
Niekiedy, ale nie zawsze, grupa $G$ może być zrekonstruowana z $G / H$ oraz $H$ jako iloczyn prosty lub półprosty. Problem określenia kiedy tak jest, jest znany jako problem rozszerzenia. Oto przykład, kiedy nie jest to możliwe: $\mathbb Z_4 / \{0, 2\}$ jest izomorficzna z $\mathbb Z_2$ , a także z ${0,2}$ , ale jedynym iloczynem półprostym jest iloczyn prosty, ponieważ $\mathbb Z_2$ ma wyłącznie trywialny automorfizm. Stąd $\mathbb Z_4$ , która różni się od $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ nie może być odtworzona.

[edytuj] Bibliografia

A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4

[edytuj] Zobacz też

Olsztyn: 16-latka śmiertelnie zatruła się czadem

Szesnastoletnia dziewczyna śmiertelnie zatruła się czadem. Dwie osoby, które były z nią w mieszkaniu nie ucierpiały - poinformowała Małgorzata Szmidt-Jeżewska, rzecznik prasowa warmińsko-mazurskiej straży pożarnej.

Izrael ma nadzieję na owocne rozmowy z Egiptem

Izrael wyraził nadzieję, że rozmowy z Egiptem na temat sytuacji w Strefie Gazy stworzą warunki, które pozwolą Izraelowi "zakończyć operację militarną".

Irak wzywa do odwetu za Strefę Gazy

Radykalny duchowny Muktada as-Sadr wezwał iracki ruch oporu do przeprowadzenia "operacji odwetowych" przeciwko siłom amerykańskim w Iraku, aby zaprotestować w ten sposób przeciw izraelskiej ofensywie w Strefie Gazy.

Tragiczny bilans wojny w Strefie Gazy

Co najmniej 702 Palestyńczyków zginęło, a 3100 zostało rannych podczas izraelskiej ofensywy w Strefie Gazy - podał szef służb ratowniczych.

Posłowie za rozszerzeniem uprawnień "speckomisji"

Za umożliwieniem sejmowej "speckomisji" dostępu do dokumentów i materiałów uzyskanych przez służby specjalne opowiedzieli się w środę, podczas debaty w Sejmie nad projektem zmian w regulaminie izby, posłowie ze wszystkich klubów parlamentarnych.

apteka | Bełchatów mieszkania | Grand Theft Auto | Better songs for yours soul | properties for sale HOME, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,

Wikipedia - Wolna Encyklopedia