Grupa podstawowa
Z Wikipedii
Spis treści |
Grupa podstawowa – rozważana w topologii grupa klas homotopii pętli w przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem (lub łukowo spójnej), pozwalająca na użycie względnie łatwych metod algebraicznych do dowodzenia skomplikowanych twierdzeń topologicznych.
[edytuj] Definicja
Niech X będzie przestrzenią topologiczną z wyróżnionym punktem 
, zaś Ω(X,a) zbiorem pętli zaczepionych w a w niej określonych. Niech 
.
Iloczynem (złożeniem) pętli α,β nazywamy pętlę
![(\alpha \star \beta)(s) = \begin{cases} \alpha(2s), & \mbox{ dla } s \in [0, \tfrac{1}{2}], \\ \beta(2s - 1), & \mbox{ dla } s \in [\tfrac{1}{2}, 1]. \end{cases}](http://upload.wikimedia.org/math/6/3/0/630d6ada067d70ad295f67f3142d0129.png)
Odwrotnością pętli α nazwiemy pętlę
dla ![s \in [0, 1]](http://upload.wikimedia.org/math/3/5/a/35a8edea94032c30d8fcc7bc7cc9c511.png)
.
Wyróżnijmy też odwzorowanie stałe 
dla każdego ![x \in [0,1] \subset \mathbb R](http://upload.wikimedia.org/math/9/5/3/95328f0b9620c740d9326d3e2f78aaf5.png)
.
Powyższe przekształcenia nie posiadają dobrych własności algebraicznych, przede wszystkim dlatego, że pętle o identycznym obrazie mogą różnić się parametryzacją (zależą od czasu) uważane są za różne. Ich utożsamienie za pomocą relacji homotopii, co tłumaczą poniższe uwagi, pozwala na określenie podstawowej struktury algebraicznej – grupy – w zbiorze Ω(X,a) / ˜ klas homotopii (klas abstrakcji relacji homotopii) pętli zaczepionych w a.
Grupą podstawową przestrzeni X z wyróżnionym punktem a nazwiemy zbiór klas homotopii ![[\alpha] = \{\alpha'\colon \alpha' \in \Omega(X, a), \alpha \sim \alpha'\}](http://upload.wikimedia.org/math/9/e/b/9eb01c143337193179dfa57621588b51.png)
z działaniem mnożenia ![[\alpha][\beta] = [\alpha \star \beta]](http://upload.wikimedia.org/math/2/0/3/203d22ef7ae83855301bc8b7097c0d14.png)
, operacją odwracania ![[\alpha]^{-1} = [\overline \alpha]](http://upload.wikimedia.org/math/7/3/3/73323bedbc8f8bf49883d879c860384e.png)
oraz elementem neutralnym ![[\varepsilon_a]](http://upload.wikimedia.org/math/f/1/2/f12c14c6979661bc377ba6ac6f21ceb6.png)
. Grupę tą oznaczymy symbolem π1(X,a).
[edytuj] Uwagi
- Jeżeli α˜α' oraz β˜β', to
. - Dla α,β,γ zachodzi
. - Dla każdej pętli α jest
oraz 
.
[edytuj] Teoria kategorii
Jeśli przestrzenie topologiczne są homeomorficzne, to ich grupy podstawowe w punktach sobie odpowiadających są izomorficzne. Ta prawidłowość ma znaczenie w szerszym zakresie teorii, jak teoria grup homologii, kohomologii czy homotopii w wyższych wymiarach.
Na teorię grup podstawowych można patrzeć jako na przełożenie twierdzeń o przestrzeniach topologicznych i ich ciągłych odwzorowaniach na twierdzenia o grupach i ich homomorfizmach (z zachowaniem odpowiednich złożeń). Teoria grup podstawowych określa funktor przekształcający kategorię 
przestrzeni topologicznych i ich ciągłych odwzorowań w kategorię grup wraz z ich homomorfizmami 
.
[edytuj] Przykłady
- W
rozpatrzmy pętlę f. Pętla ta jest równoważna pętli stale równej 0. Odpowiednią homotopią jest funkcja 
, więc grupą podstawową przestrzeni 
jest grupa trywialna, czyli złożona z elementu neutralnego. - Na okręgu (lub powierzchni bocznej walca) pętla jest całkowicie scharakteryzowana przez liczbę jej obiegów wokół tego okręgu, więc grupą podstawową wspomnianych przestrzeni jest nieskończona grupa cykliczna, czyli izomorficzna z grupą liczb całkowitych z dodawaniem.
- Grupą podstawową torusa jest
- Grupą podstawową pary okręgów stycznych jest grupa wolna o dwóch generatorach.
- Grupą podstawową płaszczyzny rzutowej jest
.
[edytuj] Łukowa spójność
Jeżeli przestrzeń Y jest łukowo spójna, to dla dowolnych punktów 
grupy π1(Y,s) oraz π1(Y,t) są izomorficzne. Wówczas grupą podstawową przestrzeni Y nazywa się grupę izomorficzną z π1(Y,u) dla dowolnego 
i oznacza π1(Y).
Jeżeli przestrzeń X również jest łukowo spójna, a przestrzenie X oraz Y są homotopijnie równoważne, to 
.
Dla przykładu, wstęga Möbiusa, okrąg i pobocznica walca mają te same grupy podstawowe.
[edytuj] Źródła
- Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych.. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994.
- S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol: Topologia I wykłady i zadania. skrypt, 2005.
[edytuj] Literatura
- Richard H. Crowell, Ralph Hartzler Fox: Introduction to knot theory. Boston: Ginn and Co., 1963.
- Samuel Eilenberg, Norman Steenrod: Foundations of Algebraic Topology. Princeton: 1952.
[edytuj] Zobacz też
| Olsztyn: 16-latka śmiertelnie zatruła się czadem |
|
Szesnastoletnia dziewczyna śmiertelnie zatruła się czadem. Dwie osoby, które były z nią w mieszkaniu nie ucierpiały - poinformowała Małgorzata Szmidt-Jeżewska, rzecznik prasowa warmińsko-mazurskiej straży pożarnej.
|
| Izrael ma nadzieję na owocne rozmowy z Egiptem |
|
Izrael wyraził nadzieję, że rozmowy z Egiptem na temat sytuacji w Strefie Gazy stworzą warunki, które pozwolą Izraelowi "zakończyć operację militarną".
|
| Irak wzywa do odwetu za Strefę Gazy |
|
Radykalny duchowny Muktada as-Sadr wezwał iracki ruch oporu do przeprowadzenia "operacji odwetowych" przeciwko siłom amerykańskim w Iraku, aby zaprotestować w ten sposób przeciw izraelskiej ofensywie w Strefie Gazy.
|
| Tragiczny bilans wojny w Strefie Gazy |
|
Co najmniej 702 Palestyńczyków zginęło, a 3100 zostało rannych podczas izraelskiej ofensywy w Strefie Gazy - podał szef służb ratowniczych.
|
| Posłowie za rozszerzeniem uprawnień "speckomisji" |
|
Za umożliwieniem sejmowej "speckomisji" dostępu do dokumentów i materiałów uzyskanych przez służby specjalne opowiedzieli się w środę, podczas debaty w Sejmie nad projektem zmian w regulaminie izby, posłowie ze wszystkich klubów parlamentarnych.
|