K-algebra
Z Wikipedii
Spis treści |
 |
Zasugerowano, aby ten artykuł zintegrować z artykułem algebra liniowa (struktura). (dyskusja) |
Algebra nad ciałem, K-algebra – pewna szczególna struktura algebraiczna.
[edytuj] Definicja
Niech A będzie niepustym zbiorem A, zaś K dowolnym ciałem. Jeżeli spełnione są warunki:
- A jest pierścieniem,
- A jest przestrzenią wektorową nad ciałem K względem dodawania w pierścieniu i mnożenia elementów z A przez elementy ciała K,
- mnożenie wewnętrzne w pierścieniu A i mnożenie wektorów przez skalary z ciała K spełniają
,
to zbiór A nazywamy algebrą nad ciałem K lub krótko: K-algebrą .
[edytuj] Rodzaje
Jeśli mnożenie wektorów w A jest przemienne, to algebrę A nazywa się algebrą przemienną (nad ciałem K) lub K-algebrą przemienną, jeśli istnieje element neutralny mnożenia to A nazywa się algebrą (nad ciałem K) z jednością albo K-algebrą z jednością.
Niezerową algebrę z jednością nazywamy algebrą z dzieleniem, jeżeli każdy jej niezerowy element jest odwracalny. Jeśli dodatkowo jest to algebra przemienna, to otrzymaną strukturę nazywa się po prostu ciałem.
[edytuj] Własności
Bazą K-algebry A jest baza przestrzeni liniowej A nad ciałem K , a wymiarem 
K-algebry A jest wymiar przestrzeni A.
[edytuj] Przykłady
- Każde ciało K można traktować jako jednowymiarową przestrzeń liniową nad tym ciałem, zaś przestrzeń nad K można traktować jako jednowymiarową algebrę przemienną z dzieleniem dla naturalnego dla tego ciała działania mnożenia oraz wyróżnionego elementu zwanego jednością.
- Każde rozszerzenie L ciała K może być traktowane jako K-algebra przemienna (z mnożeniem zewnętrznym elementów z L przez elementy z K zdefiniowanym jako ograniczenie mnożenia
do 
). - Zbiór Mn(K) wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n nad ciałem K z dodawaniem i mnożeniem macierzy oraz działaniem zewnętrznym określonym następująco:
![a\cdot[a_{ij}]:=[aa_{ij}]](http://upload.wikimedia.org/math/9/2/5/92579a86a595eafaed9330773f2bb2f0.png)
, dla 
- jest K-algebrą nieprzemienną o wymiarze
.
- Zbiór K[t] wszystkich wielomianów o współczynnikach z ciała K z dodawaniem i mnożeniem wielomianów oraz mnożeniem wielomianów przez elementy ciała K jest K-algebrą przemienną.
- Zbiór K(t) wszystkich funkcji wymiernych o współczynnikach z ciała K z dodawaniem i mnożeniem funkcji wymiernych oraz mnożeniem funkcji przez elementy ciała K jest K-algebrą przemienną.
- Zbiór
wszystkich endomorfizmów przestrzeni wektorowej z działaniami dodawania i mnożenia endomorfizmów oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary z ciała K jest K-algebrą nieprzemienną, gdy 
. - Algebra kwaternionów (por. kwaterniony)
[edytuj] Podalgebry
Jeśli 
jest podprzestrzenią przestrzeni A i równocześnie podpierścieniem pierścienia A, to B jest także K-algebrą nazywaną wówczas podalgebrą K-algebry A.
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- algebra – dział matematyki,
- algebra Banacha,
- algebra liniowa – struktura,
- *-algebra.
| Koniec wojny gazowej? Czesi: Jest porozumienie! |
|
Czeskie przewodnictwo w UE poinformowało w czwartek wieczorem, że jest porozumienie z Rosją ws. rozmieszczenia misji unijnych obserwatorów, którzy mają monitorować przepływ rosyjskiego gazu przez Ukrainę do Unii Europejskiej.
|
| Radom: Pożar kamienicy, mieszkańcy na mrozie |
|
W czwartek wieczorem zapaliła się dwukondygnacyjna kamienica w centrum Radomia. Prawdopodobnie przyczyną pożaru był wybuch butli gazowej. Ewakuowano kilkanaście osób.
|
| Prezydent Kaczyński twardy, a nie miękki |
|
Prezydent Lech Kaczyński przybył w czwartek wieczorem do czeskiej Pragi. W planie kilkugodzinnej wizyty są rozmowy z prezydentem Vaclavem Klausem i premierem Mirkiem Topolankiem. Jednym z głównych tematów rozmów będzie sprawa kryzysu gazowego.
|
| Przerażająca relacja Czerwonego Krzyża z Gazy |
|
W niezwykle ostrych słowach Międzynarodowy Czerwony Krzyż upomniał Izrael za uniemożliwianie lub utrudnianie karetkom pogotowia wywożenia rannych z terenów walk w Strefie Gazy.
|
| Chiny już nie chcą pożyczać pieniędzy Ameryce |
|
Chiny zaczynają ograniczać pożyczanie pieniędzy USA w postaci wykupywania amerykańskich obligacji skarbowych - pisze czwartkowy "New York Times". Na krótką metę może to być bolesne dla zadłużonych i pogrążonych w recesji Stanów Zjednoczonych.
|