Logika matematyczna
Z Wikipedii
Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się on na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.
W początkowym okresie rozwoju tego działu używano też nazwy logika symboliczna (w celu odróżnienia od logiki filozoficznej). Nazwa logika matematyczna została użyta po raz pierwszy przez włoskiego matematyka Giuseppe Peano.
Spis treści |
[edytuj] Rys historyczny
Korzenie logiki matematycznej tkwią w badaniach Gottfrieda Leibniza, ale jej burzliwy rozwój zaczął się w pierwszej połowie XIX wieku w wyniku prac George'a Boole'a i Augusta De Morgana nad algebraizacją logiki. Niektóre z ważniejszych wydarzeń w historii logiki matematycznej:
- 1879: Gottlob Frege rozwija formalny rachunek logiczny bliski dzisiejszej logice drugiego rzędu.[1]
- Lata 70. XIX wieku: niemiecki matematyk Georg Cantor rozwija podstawy współczesnej teorii mnogości .
- 1892-1908: Peano publikuje wielotomowy formalny wykład matematyki Formulario mathematico. Część dotycząca logiki matematycznej miała duży wpływ na późniejsze prace.
- 1899: David Hilbert podaje pierwsze, formalnie poprawne, aksjomatyczne ujęcie geometrii klasycznej, właściwie ją formalizując i podając 21 aksjomatów[2].
- 1908: Ernst Zermelo przedstawia pierwszą próbę aksjomatyzacji teorii mnogości.[3] Lista aksjomatów zaproponowana przez Zermelo została niezależnie poprawiona przez Thoralfa Skolema i Adolfa Fraenkela około roku 1922. Dzisiaj aksjomaty te, znane jako aksjomaty Zermelo-Fraenkela, są powszechnie akceptowaną podstawą teorii mnogości i całej matematyki.
- 1910-1913: Bertrand Russell i Alfred North Whitehead pracują nad formalizacją matematyki i logiki zawierając swoje wyniki w trzytomowej monografii Principia Mathematica.
- 1929: austriacki matematyk Kurt Gödel dowodzi w swojej rozprawie doktorskiej, że każda niesprzeczna teoria pierwszego rzędu ma model (twierdzenie Gödla o zupełności)[4].
- 1931: Gödel publikuje sławne dwa twierdzenia o niezupełności[5].
- 1933: Alfred Tarski publikuje sławną pracę o niedefiniowalności pojęcia prawdy[6].
- 1936: Alan Turing wprowadza pojęcie maszyny Turinga zaczynając systematyczne badania funkcji obliczalnych i wykazując nierozstrzygalność problemu stopu.
- 1963/64: Paul Cohen wprowadza metodę forsingu[7][8][9].
[edytuj] Współczesne badania
Zgodnie z klasyfikacją badań naukowych w matematyce prowadzoną przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, aktualne badania w logice matematycznej (oznaczonej kodem 03-xx Mathematical logic and foundations) są podzielona na osiem działów. Wśród nich znajdują się:
- 03Bxx Logika ogólna
- 03Cxx Teoria modeli
- 03Dxx Teoria rekursji
- 03Exx Teoria mnogości
- 03Fxx Teoria dowodu
- 03Gxx Logika algebraiczna
- 03Hxx Teoria modeli niestandardowych
Jednym z podstawowych źródeł o stanie badań we współczesnej logice matematycznej jest Handbook of mathematical logic[10]. Zgodnie z tym źródłem (i jego podziałem na 4 części), można uznać, że teoria dowodu, teoria modeli, teoria rekursji i teoria mnogości są czwórką na którą składają się fundamenty matematyki.
[edytuj] Polscy matematycy
Logika matematyczna jest jedną z tych dziedzin matematyki, w których wkład polskich matematyków był i jest bardzo istotny. Matematycy związani zarówno z warszawską szkołą matematyczną jak i z lwowską szkołą matematyczną byli zainteresowani problemami w szeroko rozumianej logice matematycznej, choć często zainteresowania te były motywowane ich pracami w topologii czy też analizie funkcjonalnej. Między innymi dlatego pierwsze wyspecjalizowane czasopismo matematyczne na świecie, założone w Polsce Fundamenta Mathematicae, było poświęcone właśnie podstawom matematyki, logice matematycznej i związanym z nimi dziedzinom: topologii, teorii funkcji rzeczywistych i teorii miary.
Tradycje te są kontynuowane współcześnie przez wielu polskich matematyków pracujących w kraju jak i poza jego granicami. Wśród polskich matematyków powszechnie uznanych za wybitnych, ważny wkład w rozwój logiki matematycznej mieli:
- Stefan Banach (1892-1945),
- Zygmunt Janiszewski (1888-1920),
- Bronisław Knaster (1893-1980),
- Kazimierz Kuratowski (1896-1980),
- Stanisław Leśniewski (1886-1939),
- Jan Łukasiewicz (1878-1956),
- Jerzy Łoś (1920-1998),
- Edward Marczewski (1907-1976),
- Stanisław Mazur (1905-1981),
- Andrzej Mostowski (1913-1975),
- Otto M. Nikodym (1887-1974),
- Helena Rasiowa (1917-1994),
- Wacław Sierpiński (1882-1969),
- Roman Sikorski (1920-1983),
- Alfred Tarski (1901-1983),
- Stanisław Ulam (1909-1984).
[edytuj] Bibliografia
- ↑ Frege, Gottlob: Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.
- ↑ Hilbert, David: Grundlagen der Geometrie, 1899.
- ↑ Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. "Math. Ann." 65 (1908), s. 261-281.
- ↑ Gödel, Kurt: Über die Vollständigkeit des Logikkalküls. Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem Hansa Hahna. Uniwersytet Wiedeński, 1929.
- ↑ Gödel, Kurt: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. "Monatshefte für Mathematik und Physik" 38 (1931), s. 173-98
- ↑ Tarski, Alfred: Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych, "Travaux de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie", Classe III, no 34 (1933).
- ↑ Cohen, Paul: The independence of the continuum hypothesis. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 50 (1963), s. 1143-1148.
- ↑ Cohen, Paul J.: The independence of the continuum hypothesis. II. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 51 (1964), s. 105-110.
- ↑ Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1966.
- ↑ Handbook of mathematical logic. Edytowane przez Jona Barwise'a we współpracy z H. J. Keislerem, K. Kunenem, Y. N. Moschovakisem and A. S. Troelstrą. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", tom 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. ISBN 0-7204-2285-X
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Linki zewnętrzne
- Logika dla informatyków (materiały dydaktyczne MIMUW na studia informatyczne II stopnia)
- Logika dla informatyków (skrypt prof. Leszka Pacholskiego z UWr)
| Piątka dzieci pod opieką pijanego mężczyzny |
|
Troje zagłodzonych i przemarzniętych dzieci w wieku od 18 miesięcy do 5 lat znaleziono w domu koło Pasłęka w województwie warmińsko-mazurskim. Dziećmi opiekował się obcy, pijany mężczyzna. Ojciec pojechał w tym czasie szukać matki, bo nie było jej w domu nie było od kilku dni.
|
| F-16 wznawiają loty z Krzesin |
|
Od środy samoloty F-16 wznawiają loty szkoleniowe z bazy w Krzesinach pod Poznaniem. Przez ponad miesiąc maszyny stacjonowały w bazie w Łasku w łódzkiem ze względu na trwającą w 31. Bazie Lotnictwa Taktycznego modernizację płyty lotniska.
|
| Światowy Dzień Osób Niepełnosprawnych |
|
Ponad 650 mln osób na świecie jest niepełnosprawnych; stanowi to ok. 10 proc. ludności. 3 grudnia obchodzimy Światowy Dzień Osób Niepełnosprawnych. Z tej okazji we wtorek w Senacie odbyła się konferencja pt. "Niepełnosprawni w podróży".
|
| Zatrzymani ws. korupcji w polskiej piłce nożnej |
|
W związku ze śledztwem dotyczącym korupcji w polskiej piłce nożnej zatrzymane zostały dwie osoby. Poinformował o tym Wojciech Wybraniec z biura prasowego Komendy Wojewódzkiej Policji we Wrocławiu. Nie chciał jednak ujawnić żadnych szczegółów zatrzymania.
|
| PiS chce odwołania Komorowskiego |
|
Klub PiS podjął dziś decyzję o złożeniu wniosku o odwołanie marszałka Sejmu Bronisława Komorowskiego (PO) - poinformował na konferencji prasowej w Sejmie szef klubu PiS Przemysław Gosiewski.
|