Pole powierzchni

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.

Spis treści

1 Konstrukcja pojęcia pola
2 Definicja szkolna
3 Pole pod krzywą
4 Pola typowych figur
5 Zobacz też

[edytuj] Konstrukcja pojęcia pola

[edytuj] I Definicja

Zobacz więcej w osobnych artykułach: Miara Jordana, Miara Lebesgue'a, Wymiar pudełkowy.

Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach $a 1$ .
Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez $n 1$ .

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz to mniejszych bokach $a_1>a_2>a_3>\ldots$ , itd. uzyskujemy ciąg liczb $n 1, n 2,...$ .
Polem powierzchni nazywamy granicę:

$S=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^2$

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch nie nachodzących na siebie figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

[edytuj] II Definicja

Sposób ten jest nieco mniej abstrakcyjny od poprzedniego i jednocześnie może być używany do obliczania pól powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej.
Algorytm obliczania pola S powierzchni $σ$ :

1. Weźmy dowolna liczbę r>0.

2. Niech

V (σ, r)

będzie objetoscią sumy (NIE sumą objętości) wszystkich kul o środkach należących do powierzchni

σ

i promieniu r.

3. Jeżeli istnieje granica:

$S=\lim_{r \to 0}{V(\sigma,r) \over 2r}$

to liczba S jest polem powierzchni

σ

.

[edytuj] Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur

Zbiory

$\{(x,y):0<x<1,\ 0<y<1,\ x,y$ są wymierne

}

oraz

$\{(x,y): 0<x<1,\ 0<y<1,\ x$ jest niewymierny lub y jest niewymierny

}

są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole równe 1, skąd możemy wnioskować że pola naszych figur nie można zdefiniować używając podejścia Jordana.

Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC.
Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejące przy założeniu aksjomatu wyboru) są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.
Prz założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.
Przy założeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są mierzalne w sensie Lebesgue'a. * Jeśli istnieje liczba mierzalna, to jestr niesprzeczne że continuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.

[edytuj] Definicja szkolna

Definicja używana w gimnazjach i szkołach średnich.

Obieramy kwadrat o boku 1.
Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Definicja ta tak naprawdę podaje tylko dolne oszacowanie pola powierzchni danej figury, którego dokładność zależy od kształtu figury.

[edytuj] Pole pod krzywą

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej

$S=\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$

[edytuj] Pola typowych figur

Równoległobok o bokach a i b oraz kącie α między nimi:
- Prostokąt o bokach a i b: $S=ab\,$
- Kwadrat o boku a: $S=a^2\,$
pole obszaru ograniczonego przez elipsę o półosiach a i b: $S=\pi ab\,$
Koło o promieniu r: $S=\pi r^2\,$
Wielokąt foremny (r – promień okręgu wpisanego w wielokąt, R – promień okręgu opisanego, a – bok wielokąta):

$S=\frac{nar}{2}=nr^2\,\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{n}{2}R^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{n}{4}a^2\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}$

Trójkąt równoboczny:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

[edytuj] Zobacz też

Ługowoj gotów współpracować ze Scotland Yardem

Oskarżony przez Brytyjczyków o zabójstwo byłego funkcjonariusza KGB i FSB Aleksandra Litwinienki, Andriej Ługowoj powiedział dziennikarzowi "Timesa" w Moskwie, iż pod pewnymi warunkami gotów byłby przyjechać do Wielkiej Brytanii na przesłuchanie - pisze londyński dziennik.

Gazprom nie będzie dostarczać Ukrainie gazu?

Rosyjski Gazprom nie będzie dostarczać Ukrainie gazu bez podpisania nowych kontraktów - liczy też, że problem ukraińskich należności za gaz zostanie rozwiązany przed końcem roku - zakomunikował rzecznik rosyjskiego gazowego giganta Siergiej Kuprijanow.

Poruszenie wokół wtorkowych zatrzymań ABW

Agencja Bezpieczeństwa Wewnętrznego zatrzymała we wtorek trzy osoby podejrzane o korupcję, w tym "byłego wysokiego rangą funkcjonariusza państwowego".

Chcą konkretów zamiast pustych obietnic

- Chcemy konkretów zamiast pustych obietnic i gry na zwłokę- powiedziały w sobotę protestujące pielęgniarki z Lipska (Mazowieckie) i zapowiedziały dalszą okupację szpitala i głodówkę.

Speckomisja prześwietli dochody szefa ABW

Sejmowa Komisja ds. Służb Specjalnych zaprosi na swoje posiedzenie szefa Agencji Bezpieczeństwa Wewnętrznego Krzysztofa Bondaryka - dowiedział się serwis internetowy tvp.info.

atrakcje na imprezy | tylko grosz | nieruchomości poznań | Pozyskiwanie danych | Angielski Kraków HOME, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,

Wikipedia - Wolna Encyklopedia